RAZÃO E PROPORÇÃO

PROGRESSÃO GEOMÉTRICA (P.G.)

PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS

Podemos definir progressão geométrica, ou simplesmente P.G., como uma sucessão de números reais obtida, com exceção do primeiro, multiplicando o número anterior por uma quantidade fixa q, chamada razão.
    Podemos calcular a razão da progressão, caso ela não esteja suficientemente evidente, dividindo entre si dois termos consecutivos. Por exemplo, na sucessão (1, 2, 4, 8,...), q = 2.

 Cálculos do termo geral

Numa progressão geométrica de razão q, os termos são obtidos, por definição, a partir do primeiro, da seguinte maneira:   

a1	a2	a3	...	a20	...	an	...
a1	a1xq	a1xq2	...	a1xq19		a1xqn-1	...

Assim, podemos deduzir a seguinte expressão do termo geral, também chamado enésimo termo, para qualquer progressão geométrica.

an = a1 x qn-1

  Portanto, se por exemplo, a1 = 2 e q = 1/2, então:

an = 2 x (1/2)n-1

  Se quisermos calcular o valor do termo para n = 5, substituindo-o na fórmula, obtemos:

a5 = 2 x (1/2)5-1 = 2 x (1/2)4 = 1/8

      A semelhança entre as progressões aritméticas e as geométricas é aparentemente grande. Porém, encontramos a primeira diferença substancial no momento de sua definição. Enquanto as progressões aritméticas formam-se somando-se uma mesma quantidade de forma repetida, nas progressões geométricas os termos são gerados pela multiplicação, também repetida, por um mesmo número. As diferenças não param aí.

Observe que, quando uma progressão aritmética tem a razão positiva, isto é, r > 0, cada termo seu é maior que o anterior. Portanto, trata-se de uma progressão crescente. Ao contrário, se tivermos uma progressão aritmética com razão negativa, r < 0, seu comportamento será decrescente. Observe, também, a rapidez com que a progressão cresce ou diminui. Isto é conseqüência direta do valor absoluto da razão, |r|. Assim, quanto maior for r, em valor absoluto, maior será a velocidade de crescimento e vice-versa.

Soma dos n primeiros termos de uma PG

    Seja a PG (a₁, a₂, a₃, a₄, ... , a_n , ...) . Para o cálculo da soma dos n primeiros termos S_n, vamos considerar o que segue:
S_n = a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + ... + a_n-1 + a_n
Multiplicando ambos os membros pela razão q vem:
S_n.q = a₁ . q + a₂ .q + .... + a_n-1 . q + a_n .q
Conforme a definição de PG, podemos reescrever a expressão como:
S_n . q = a₂ + a₃ + ... + a_n + a_n . q
Observe que a₂ + a₃ + ... + an é igual a S_n - a₁ . Logo, substituindo, vem:
S_n . q = S_n - a₁ + a_n . q
Daí, simplificando convenientemente, chegaremos à seguinte fórmula da soma:

Se substituirmos an = a1 . qn-1 , obteremos uma nova apresentação para a fórmula da soma, ou seja:

Exemplo:
Calcule a soma dos 10 primeiros termos da PG (1,2,4,8,...)
Temos:

Observe que neste caso a₁ = 1.
5 - Soma dos termos de uma PG decrescente e ilimitada
Considere uma PG ILIMITADA ( infinitos termos) e decrescente. Nestas condições, podemos considerar que no limite teremos an = 0. Substituindo na fórmula anterior, encontraremos:
 
Exemplo:
Resolva a equação: x + x/2 + x/4 + x/8 + x/16 + ... =100
O primeiro membro é uma PG de primeiro termo x e razão 1/2. Logo, substituindo na fórmula, vem:

Dessa equação encontramos como resposta  x = 50.

Exercício (Soma dos termos de uma P.A.)

Exercício 1 – Qual o valor da soma dos termos de uma PA cuja quantidade de termos é 11, onde o primeiro termo vale 2, o último 32. 
Obs. : Deixe sua resposta nos comentários !

Soma dos termos de uma P.A.

Lembrando que a soma dos termos, só aplica-se em um Progressão Aritmética finita ou limitada, cuja formula é a seguinte:
Onde:
a₁ é o primeiro termo da PA;
a_n é o primeiro último da PA;
n é o número de termos existentes na PA;
S_n é a soma de todos os termos da PA

Além da formula acima citada, é importante lembrar sempre de duas propriedade, que ajudaram a solucionar inúmeros exercícios e problemas sobre o assunto que são as seguintes:

- Propriedade 01: Em uma PA, onde a quantidade de termos é ímpar, a diferença entre a soma dos termos de ordem ímpar e a soma dos termos de ordem par resulta no termo médio da PA.

Desta forma:

T_m(termo médio)= S_i – S_p;

- Propriedade 02: Em uma PA, de número ímpar de termos , a soma dos termos pode ser dada da seguinte maneira:
S_n = T_m . n ;

Com essas formulas em mãos, basta treinar e resolver exercícios!

Exercícios Resolvidos sobre as propriedades da P.A.

 1. Dados a₅ = 100 e r = 10, calcule o primeiro termo:

a5 = a1 + (5 - 1).r         100 = a1 + (5 - 1).10         100 = a1 + 40         100 - 40 = a1         a1 = 60

2. Sendo a₇ = 21 e a₉ = 27, calcule o valor da razão:

a7 = a1 + (7 - 1).r   Substituindo pelos valores   21 = a1 + 6r           a9 = a1 + (9 - 1).r   Substituindo pelos valores   27 = a1 + 8r           Note que temos duas incógnitas (a1 e r) e duas equações, ou seja, temos um sistema de equações. Vamos isolar o a1 na primeira equação e substituir na segunda:         a1 = 21 - 6r         Agora, substituindo na segunda:         27 = (21 - 6r) + 8r         27 = 21 + 2r         27 - 21 = 2r         6 = 2r         6/2 = r         r = 3

3. Sabendo que o primeiro termo de uma PA é 5 e a razão é 11, calcule o 13^o termo:

- Primeiro devemos coletar todas informações do problema:           a1=5     r=11    a13=?         - Para calcular vamos utilizar a fórmula do termo geral, onde an será o a13, portanto n=13. Agora, substituindo:         a13 = 5 + (13 - 1).11         a13 = 5 + (12).11         a13 = 5 + 132         a13 = 137

PROPRIEDADES DAS PROGRESSÕES ARITMÉTICAS

1.a propriedade (termos eqüidistantes dos extremos) 
Numa P.A. finita, de dois termos eqüidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos.

Exemplo:

Seja a P. A. (8, 10, 12, 14, 16). Observa-se que:

Os termos a₂ = 10 e a₄ = 14 estão eqüidistantes dos extremos a₁ e a₅, respectivamente.

Note que: 10 + 14 = 8 +16 = 24 .

2.a propriedade

Numa P.A. com número ímpar de termos, o termo médio é igual à média aritmética entre os extremos. 

Exemplo: 
Na P. A. (2, 4, 6, 8, 10), temos: 

3.a propriedade 
A seqüência (a, b, c) é P.A. se, e somente se, o termo médio é igual à média aritmética entre a e c, isto é:

FÓRMULA DA SOMA DOS N TERMOS DE UMA P. A. FINITA 
A soma dos termos de uma P. A. limitada é igual ao produto da semi-soma dos termos extremos pelo número de termos.

Em que:
a₁ é o primeiro termo;
a_n é o enésimo termo;
n é o número de termos;
S_n é a soma dos n termos.

Aplicação

Achar a soma dos 8 primeiros termos da P. A. (4, 7…).

Solução:

No problema, temos a₁ = 4, r = 3 e n = 8.

1.º passo (cálculo de a₈)

a_n = a₁ + (n – 1) . r
a₈ = 4 + (8 – 1).3
a₈ = 25

2.º passo (cálculo de S₈)

Sequência

Chama-se sequência ou sucessão numérica qualquer conjunto ordenado de números reais ou complexos. Assim por exemplo, o conjunto ordenado A=(3,5,7,9,11,...35) é uma sequência cujo o primeiro termo é 3 , o segundo 5 e assim por diante.
Uma sequência pode ser finita ou infinita.
Ex: A=(2,4,6,8)   B=(2,4,6,8,...)
A representação de uma sequência numérica é dada por : (a1, a2, a3, a4,... an)
a1 - Primeiro termo
a2 - Segundo termo 
an - n-ésimo termo
Note que y=(2,6,18,54,162,482,...)
a3 - 18    a5 - 168