Triângulo de Pascal

ESTATÍSTICA

Média aritmética: medida de tendência central. Somatório dos valores dos elementos, dividido pelo número de elementos.
Média aritmética ponderada: Somatório dos valores dos elementos multiplicado pelos seus respectivos pesos, dividido pela soma dos pesos atribuídos.
Moda: valor de maior frequência em uma série de dados, o que mais se repete.
Mediana: medida central em uma determinada sequência de dados numéricos.

PROBABILIDADE

Consideremos a experiência do lançamento de uma moeda e leitura da face voltada para cima. Ao realizarmos n vezes a experiência, se obtivermos m vezes o resultado “cara” é  . É claro que lançada a moeda o resultado é imprevisível, pois não podemos dizer com absoluta certeza que o resultado será “cara”, pois nada impede que dê “coroa”.
A experiência provou que conforme se aumenta n, ou seja, à medida que mais lançamentos da moeda são feitos, a frequência relativa  tende a estabilizar-se em torno de  .

Exemplo:
Em 1000 lançamentos (n = 1000), 529 resultados foram favoráveis (m = 529), o que nos dá para  o valor de 0,529.
Em 4040 lançamentos, 2048 resultados foram favoráveis o que nos da  = 0,50693, isso significa que no lançamento de uma moeda “honesta” a probabilidade de se obter “cara” é  . Essa experiência foi realizada por Kerrich e Buffon.
A definição que permite calcular teoricamente a probabilidade de um evento, sem realizar a experiência é:

Dado um espaço amostral S, com n (S) elementos, e um evento a de S, com n(A) elementos, a probabilidade do evento A é o P(A) tal que:

Dica : Outra forma de calcular potências

Pitágoras descobriu que existe outra forma de calcular potências: através da soma de números ímpares. Ele descobriu que n2 é igual a soma dos n primeiros números naturais ímpares. Exemplo: 52 = 1+3+5+7+9 = 25

Por que é perda de tempo discutir com uma PG ?

Porque ela sempre tem razão.

PIADA DO DIA :

Pergunta = Por que o livro de matemática se suicidou?

Resposta = Porque estava cheio de problemas.

A MATEMÁTICA É LINDA !

Fatorial e o Principio Fundamental da Contagem

Considerando n um número natural maior que 1 (um), podemos definir como fatorial desse número n (n!) o número: 

n! = n(n – 1)(n – 2)(n – 3) * ...* 3 * 2 * 1 

Lê-se n! como n fatorial ou fatorial de n. 

RAZÃO E PROPORÇÃO

PROGRESSÃO GEOMÉTRICA (P.G.)

PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS

Podemos definir progressão geométrica, ou simplesmente P.G., como uma sucessão de números reais obtida, com exceção do primeiro, multiplicando o número anterior por uma quantidade fixa q, chamada razão.
    Podemos calcular a razão da progressão, caso ela não esteja suficientemente evidente, dividindo entre si dois termos consecutivos. Por exemplo, na sucessão (1, 2, 4, 8,...), q = 2.

 Cálculos do termo geral

Numa progressão geométrica de razão q, os termos são obtidos, por definição, a partir do primeiro, da seguinte maneira:   

a1	a2	a3	...	a20	...	an	...
a1	a1xq	a1xq2	...	a1xq19		a1xqn-1	...

Assim, podemos deduzir a seguinte expressão do termo geral, também chamado enésimo termo, para qualquer progressão geométrica.

an = a1 x qn-1

  Portanto, se por exemplo, a1 = 2 e q = 1/2, então:

an = 2 x (1/2)n-1

  Se quisermos calcular o valor do termo para n = 5, substituindo-o na fórmula, obtemos:

a5 = 2 x (1/2)5-1 = 2 x (1/2)4 = 1/8

      A semelhança entre as progressões aritméticas e as geométricas é aparentemente grande. Porém, encontramos a primeira diferença substancial no momento de sua definição. Enquanto as progressões aritméticas formam-se somando-se uma mesma quantidade de forma repetida, nas progressões geométricas os termos são gerados pela multiplicação, também repetida, por um mesmo número. As diferenças não param aí.

Observe que, quando uma progressão aritmética tem a razão positiva, isto é, r > 0, cada termo seu é maior que o anterior. Portanto, trata-se de uma progressão crescente. Ao contrário, se tivermos uma progressão aritmética com razão negativa, r < 0, seu comportamento será decrescente. Observe, também, a rapidez com que a progressão cresce ou diminui. Isto é conseqüência direta do valor absoluto da razão, |r|. Assim, quanto maior for r, em valor absoluto, maior será a velocidade de crescimento e vice-versa.

Soma dos n primeiros termos de uma PG

    Seja a PG (a₁, a₂, a₃, a₄, ... , a_n , ...) . Para o cálculo da soma dos n primeiros termos S_n, vamos considerar o que segue:
S_n = a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + ... + a_n-1 + a_n
Multiplicando ambos os membros pela razão q vem:
S_n.q = a₁ . q + a₂ .q + .... + a_n-1 . q + a_n .q
Conforme a definição de PG, podemos reescrever a expressão como:
S_n . q = a₂ + a₃ + ... + a_n + a_n . q
Observe que a₂ + a₃ + ... + an é igual a S_n - a₁ . Logo, substituindo, vem:
S_n . q = S_n - a₁ + a_n . q
Daí, simplificando convenientemente, chegaremos à seguinte fórmula da soma:

Se substituirmos an = a1 . qn-1 , obteremos uma nova apresentação para a fórmula da soma, ou seja:

Exemplo:
Calcule a soma dos 10 primeiros termos da PG (1,2,4,8,...)
Temos:

Observe que neste caso a₁ = 1.
5 - Soma dos termos de uma PG decrescente e ilimitada
Considere uma PG ILIMITADA ( infinitos termos) e decrescente. Nestas condições, podemos considerar que no limite teremos an = 0. Substituindo na fórmula anterior, encontraremos:
 
Exemplo:
Resolva a equação: x + x/2 + x/4 + x/8 + x/16 + ... =100
O primeiro membro é uma PG de primeiro termo x e razão 1/2. Logo, substituindo na fórmula, vem:

Dessa equação encontramos como resposta  x = 50.

Exercício (Soma dos termos de uma P.A.)

Exercício 1 – Qual o valor da soma dos termos de uma PA cuja quantidade de termos é 11, onde o primeiro termo vale 2, o último 32. 
Obs. : Deixe sua resposta nos comentários !

Soma dos termos de uma P.A.

Lembrando que a soma dos termos, só aplica-se em um Progressão Aritmética finita ou limitada, cuja formula é a seguinte:
Onde:
a₁ é o primeiro termo da PA;
a_n é o primeiro último da PA;
n é o número de termos existentes na PA;
S_n é a soma de todos os termos da PA

Além da formula acima citada, é importante lembrar sempre de duas propriedade, que ajudaram a solucionar inúmeros exercícios e problemas sobre o assunto que são as seguintes:

- Propriedade 01: Em uma PA, onde a quantidade de termos é ímpar, a diferença entre a soma dos termos de ordem ímpar e a soma dos termos de ordem par resulta no termo médio da PA.

Desta forma:

T_m(termo médio)= S_i – S_p;

- Propriedade 02: Em uma PA, de número ímpar de termos , a soma dos termos pode ser dada da seguinte maneira:
S_n = T_m . n ;

Com essas formulas em mãos, basta treinar e resolver exercícios!

Exercícios Resolvidos sobre as propriedades da P.A.

 1. Dados a₅ = 100 e r = 10, calcule o primeiro termo:

a5 = a1 + (5 - 1).r         100 = a1 + (5 - 1).10         100 = a1 + 40         100 - 40 = a1         a1 = 60

2. Sendo a₇ = 21 e a₉ = 27, calcule o valor da razão:

a7 = a1 + (7 - 1).r   Substituindo pelos valores   21 = a1 + 6r           a9 = a1 + (9 - 1).r   Substituindo pelos valores   27 = a1 + 8r           Note que temos duas incógnitas (a1 e r) e duas equações, ou seja, temos um sistema de equações. Vamos isolar o a1 na primeira equação e substituir na segunda:         a1 = 21 - 6r         Agora, substituindo na segunda:         27 = (21 - 6r) + 8r         27 = 21 + 2r         27 - 21 = 2r         6 = 2r         6/2 = r         r = 3

3. Sabendo que o primeiro termo de uma PA é 5 e a razão é 11, calcule o 13^o termo:

- Primeiro devemos coletar todas informações do problema:           a1=5     r=11    a13=?         - Para calcular vamos utilizar a fórmula do termo geral, onde an será o a13, portanto n=13. Agora, substituindo:         a13 = 5 + (13 - 1).11         a13 = 5 + (12).11         a13 = 5 + 132         a13 = 137

PROPRIEDADES DAS PROGRESSÕES ARITMÉTICAS

1.a propriedade (termos eqüidistantes dos extremos) 
Numa P.A. finita, de dois termos eqüidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos.

Exemplo:

Seja a P. A. (8, 10, 12, 14, 16). Observa-se que:

Os termos a₂ = 10 e a₄ = 14 estão eqüidistantes dos extremos a₁ e a₅, respectivamente.

Note que: 10 + 14 = 8 +16 = 24 .

2.a propriedade

Numa P.A. com número ímpar de termos, o termo médio é igual à média aritmética entre os extremos. 

Exemplo: 
Na P. A. (2, 4, 6, 8, 10), temos: 

3.a propriedade 
A seqüência (a, b, c) é P.A. se, e somente se, o termo médio é igual à média aritmética entre a e c, isto é:

FÓRMULA DA SOMA DOS N TERMOS DE UMA P. A. FINITA 
A soma dos termos de uma P. A. limitada é igual ao produto da semi-soma dos termos extremos pelo número de termos.

Em que:
a₁ é o primeiro termo;
a_n é o enésimo termo;
n é o número de termos;
S_n é a soma dos n termos.

Aplicação

Achar a soma dos 8 primeiros termos da P. A. (4, 7…).

Solução:

No problema, temos a₁ = 4, r = 3 e n = 8.

1.º passo (cálculo de a₈)

a_n = a₁ + (n – 1) . r
a₈ = 4 + (8 – 1).3
a₈ = 25

2.º passo (cálculo de S₈)

Sequência

Chama-se sequência ou sucessão numérica qualquer conjunto ordenado de números reais ou complexos. Assim por exemplo, o conjunto ordenado A=(3,5,7,9,11,...35) é uma sequência cujo o primeiro termo é 3 , o segundo 5 e assim por diante.
Uma sequência pode ser finita ou infinita.
Ex: A=(2,4,6,8)   B=(2,4,6,8,...)
A representação de uma sequência numérica é dada por : (a1, a2, a3, a4,... an)
a1 - Primeiro termo
a2 - Segundo termo 
an - n-ésimo termo
Note que y=(2,6,18,54,162,482,...)
a3 - 18    a5 - 168

Conceito de Circunferência e Círculo

Dado um ponto O de um plano, vamos marcar nesse plano os pontos que estão em uma mesma distância rde O:
                     
A figura obtida chama-se circunferência de centro O e raio r.
Qualquer segmento determinado pelo centro e por um ponto da circunferência é igual ao raio.
AO = OB = OC = raio

Dados um ponto O de um plano e uma distância r, chamamos de circunferência de centro O e raio r o conjunto dos pontos do plano que distam r de O.

A medida do segmento indicada por r e a circunferência de centro O e raio r por:

                                                 C( O, r )

Todo ponto do plano cuja distância em relação ao centro da circunferência é maior que o raio chama-se de ponto externo à circunferência. A reunião de todos esses pontos externos denomina-se região externa à circunferência.

Todo ponto do plano cuja distância em relação ao centro da circunferência é menor que o raio chama-se ponto interno à circunferência. A reunião desses pontos internos chama-se de região interna da circunferência.

Portanto:

Círculo é a região da circunferência com sua região interna.

Setor circular é a parte do círculo limitada por dois raios.

Movimentos de Dança

"Cardosinho"

CURIOSIDADES

A história da matemática

      

PIADAS MATEMÁTICAS

- Seno e cosseno no banheiro:

O seno estava no banheiro. O cosseno chegou e bateu na porta. O que o seno respondeu? Resposta: Tangente! -Suicídio do livro :

Por que o livro de matemática se suicidou? Porque estava cheio de problemas. - A idade da Senhora : A senhora vaidosa perguntou ao cavalheiro: - Vamos ver...que idade o senhor me dá? Ah! – exclama ele – pelos cabelos dou-lhe vinte anos; pelo olhar 18; pela pele 15; pelo corpo, se me dá licença, 16. - Oh! O senhor está sendo lisonjeiro! - Espere... ainda não fiz a soma.

Desenhos animados que ensinam matemática

Relembrando a infância

Logaritmo

VÍDEO AULA 

Logaritmo é um estudo da matemática que depende maciçamente do conhecimento sobre potenciação e suas propriedades, pois para encontrar o valor numérico de um logaritmo, é preciso desenvolver uma potência transformá-la em um logaritmo.

Vídeo educativo

Como assim cara ? Isso é hilário!

1 Passo

Em breve postaremos videos e músicas (paródias) para podermos aprimorar nosso conhecimento sobre a matemática. Já criamos paródias sobre : Equação exponencial e Lei dos Senos . Gostaria de saber da opnião de vocês , sobre qual assunto de matemática sentem mais dificuldade para podermos ajudá-los.

Apresentação

Olá pessoal, esse blog foi feito com a intenção de ajudar a todos , tirando suas dúvidas e falando um pouco sobre a matemática que está em tudo que fazemos no nosso dia-dia . Trazendo conhecimento e experiências únicas no nosso aprendizado. Somos alunos do 1 ano (turma A) do ensino médio do Colégio Batista Brasileiro (Salvador) e este é um projeto que estamos realizando na disciplina de matemática em nossa turma. Nosso grupo é composto por 5 membros : Aline Garcia, Elis Cristina, Ingrid Nascimento, Luciano Santana e Tainan Santos. Estamos dispostos a realizar esse trabalho com excelência, esperamos que gostem.